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数据分布特征的度量(统计学)解析ppt

发布时间:2019-06-19 00:51 来源:未知 编辑:admin

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  第一章 绪论 第4章 统计数据分布特征的度量 第4章 统计数据分布特征的度量 一、集中趋势的度量 二、离散趋势的度量 三、偏态和峰态的度量 四、Excel在数据分布特征度量中的应用 出现次数最多的变量值,用mo表示 不受极端值的影响 主要用于分类数据,也可用于顺序数据和数值型数据 一组数据可能没有众数或有几个众数 众数只有在数据较多时才有意义,当数据量较少时,不宜使用众数。 无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8 排序后处于中间位置上的值 【例】:10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 排序后处于25%和75%位置上的值 【例】:9个家庭的人均月收入数据 原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 集中趋势的最常用测度值 一组数据的均衡点所在,反映这组数据的一般水平 将各个数据之间的数量差异抽象掉,体现数据的必然性特征 易受极端值的影响 用于数值型数据,不能用于分类数据和顺序数据 已改至此!! 均值的另一种表现形式,是变量值倒数的算术均值的倒数。 易受极端值的影响 计算公式为 n 个变量值乘积的 n 次方根 适用于对比率数据的平均,而且各比率的乘积要等于总比率 主要用于计算平均增长率、平均收益率等 计算公式为 1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比率 3. 计算公式为 对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 qd=qu – ql 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性 一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布 各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差,实际中应用较少 方差和标准差 (variance and standard deviation) 数值型数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 方差是各变量值与其算术均值离差平方的算术均值,方差的平方根称为标准差 平方的方法消除各变量值与算术平均值离差的正负值问题,可方便地用于数学处理和统计分析运算,是真正度量离散趋势的标准 根据总体数据计算的,称为总体方差或标准差;根据样本数据计算的,称为样本方差或标准差 样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation) 简单样本标准差: 一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为 n 时,若样本均值?x 确定后,只有n-1个数据可以自由取值,其中必有一个数据则不能自由取值 例如:样本有3个数值,即x1=2,x2=4,x3=9,则x = 5。当x = 5 确定后,x1,x2和x3有两个数据可以自由取值,另一个则不能自由取值,比如x1=6,x2=7,那么x3则必然取2,而不能取其他值 在抽样估计中,当用样本方差s2去估计总体方差σ2时, s2是σ2的无偏估计量 样本标准差 (例题分析) 相对位置的测度—标准化值 1. 也称标准分数 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为 均值等于0 2. 方差等于1 z分数只是将原始数据进行了线性变换,它并没有改变一个数据在该组数据中的位置,也没有改变该组数据分布的形状,而只是将该组数据变为均值为0、标准差为1的标准化值。 当一组数据对称分布时: 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 1. 标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为 统计学家Pearson于1895年首次提出 数据分布偏斜程度的测度 3. 偏态系数的数值一般在0与±3之间,数值越接近0,分布的偏斜度越小,其绝对值越大,表示偏斜的程度就越大。 4. 偏态系数=0为对称分布;偏态系数 0为右偏分布;偏态系数 0为左偏分布 常用的计算公式: 统计学家Pearson于1905年首次提出 数据分布扁平程度的测度 峰态系数=0扁平峰度适中;峰态系数0为扁平分布;峰态系数0为尖峰分布 常用峰态系数的计算公式: 从直方图上观察偏态与峰态 本章小结 1. 数据集中趋势的度量值——众数、中位数、四分位数、算术均值、调和均值、几何均值。 2. 数据离散趋势的度量值——异众比率、四分位差、极差、平均差、方差与标准差、离散系数。 3.数据分布形态的度量值——偏态系数与峰态系数。 4.利用Excel计算描述统计量 四分位差(quartile deviation) 解:设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5。又已知 ql = 不满意 = 2 qU = 一般 = 3 四分位差: qd = qU - ql = 3 – 2 = 1 甲城市 回答类别 — 300 合计 24 132 225 270 300 24 108 93 45 30 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 累计频数 户数 (户) 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 7 8 9 10 7 8 9 10 R = max(x) - min(x) 计算公式为 极差(range) 计算公式为 平均差(mean deviation) 【例】某售货小组5个人,某天的销售额分别为1440元、1480元、1520元、1600元、1750元,求该售货小组销售额的平均差。 即该售货小组5个人销售额与平均数相比,平均相差93.6元 2040 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 — 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 120 — 合计 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 140—150 150—160 160—170 170—180 180—190 190—200 200—210 210—220 220—230 230—240 频数(f) 组中值(x) 按销售量分组 随机抽查4个月的销售量数据平均差计算表 即每一天的销售量与平均数相比,平均相差17台。 简单总体标准差: 加权总体标准差: 简单总体方差: 加权总体方差: 方差的计算公式 标准差的计算公式 总体方差和标准差 (Population variance and Standard deviation) 加权样本标准差: 简单样本方差: 加权样本方差: 方差的计算公式 标准差的计算公式 注意: 样本方差要用自由度n-1去除 自由度 【例】某售货小组5个人,某天的销售额分别为1440元、1480元、1520元、1600元、1750元,求该售货小组销售额的标准差。 解: (比较:其销售额的平均差为93.6元) 即该售货小组销售额的标准差为109.62元。 55400 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 — 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 120 — 合计 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 140—150 150—160 160—170 170—180 180—190 190—200 200—210 210—220 220—230 230—240 频数(f) 组中值(x) 按销售量分组 某电脑公司随机抽查4个月的销售量数据标准差计算表 (比较:其销售量的平均差为17台) 即:每一天的销售量与平均数相比, 平均相差21.58台 0.695 -1.042 -0.973 -0.278 -0.811 -0.556 1.853 0.116 0.996 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 1 2 3 4 5 6 7 8 9 标准化值 z 人均月收入(元) 家庭编号 9个家庭人均月收入标准化值计算表 标准化值的性质 经验法则 标准化值在均值正负3个标准差之外的数据,在统计上称为离群点。 可比 离散系数 离散系数(coefficient of variation) 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0 170 220 390 430 480 650 950 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 销售利润(万元) x2 产品销售额(万元) x1 企业编号 某管理局所属8家企业的产品销售数据 【例】某管理局抽查了所属的8家企业,其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度 结论: 计算结果表明,vs1vs2,说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度 vs1= 536.25 309.19 =0.577 vs2= 32.5215 23.09 =0.710 四分位差 — — 极差 — — 平均差 — — ※离散系数 异众比率 — 异众比率 ※方差或标准差 数值型数据 — — ※四分位差 ※异众比率 适 用 的 测 度 值 顺序数据 分类数据 数据类型 数据类型和所适用的离散程度测度值 数据类型与离散程度测度值 三、偏态和峰态的度量 (一)偏态系数 (二)峰态系数 扁平分布 尖峰分布 偏态 峰态 左偏分布 右偏分布 与标准正态分布比较! 偏态与峰态分布的形状 偏态系数(coefficient of skewness) 70100000 10240000 7290000 2560000 270000 0 170000 1600000 6480000 10240000 31250000 540000 -256000 -243000 -128000 -27000 0 17000 80000 216000 256000 625000 120 — 合计 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 140—150 150—160 160—170 170—180 180—190 190—200 200—210 210—220 220—230 230—240 频数 f 组中值(x) 按销售量份组(台) 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 结论:偏态系数为正值,但与0的差异不大,说明电脑销售量为轻微右偏分布,即销售量较少的天数占据多数,而销售量较多的天数则占少数 峰态系数(kurtosis) 结论:偏态系数为负值,但与0的差异不大,为轻微扁平分布,说明电脑销售量的分布比较分散。 结论:1.略为右偏分布 2.轻微扁平分布 140 150 210 某电脑公司销售量分布的直方图 190 200 180 160 170 25 20 15 10 5 30 220 230 240 销售量(台) 频数(天) (三)均值 均值 算术均值 调和均值 几何均值 1.算术均值(average) 数据集中趋势最主要的测度值 适用于数值型数据,不适用于用文字表示的分类数据和顺序数据 凡是总体各单位的标志值之和等于总体的标志总量时,均可使用算术均值来反映总体的一般水平。 总体算术均值通常用“ ”表示,其基本计算公式为: 样本算术均值通常用“ ”表示。 设一组样本数据为:x1 ,x2 ,… ,xn 或各组的组中值为:x1 ,x2 ,… ,xk 相应的频数为: f1 , f2 ,… ,fk 简单算术均值 加权算术均值 平均每人日销售额 某售货小组5个人,某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元,则: 【例】 【例】某企业某日工人的日产量资料如下: 800 70 100 380 150 100 工人人数(人) 9710 合计 700 1100 4560 1950 1400 10 11 12 13 14 总日产量(件) 日产量(件) 计算该企业该日全部工人的平均日产量。 120 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 天数(f) 22200 — 合计 580 1395 2640 4725 3700 3315 2050 1720 900 1175 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 140~150 150~160 160~170 170~180 180~190 190~200 200~210 210~220 220~230 230~240 xf 组中值(x) 按日销售量(台)分组 某电脑公司销售量数据分组表 【例】某电脑公司近4个月的日销售量资料如下: 本例为组距分组数据,取各组的组中值作为该组的代表值用于计算;此时求得的算术均值只是其真值的近似值。 分析: 80 99 61 平均成绩(分) 丙班 乙班 甲班 50 39 1 100 50 1 39 60 人数(人)f 成绩(分)x 权数 变量值 表现为频数(次数、单位数);即 公式 中的 表现为频率(比重);即公式 中的 指在计算均值的过程中起着权衡轻重作用的频数或频率,反映了各组的变量值对均值的影响程度 权数 绝对权数 相对权数 若各组权数相同,则各组的次数或频率也就失去了权衡轻重的作用,加权算术均值就转化为简单算术均值。 2 3 4 5 6 7 8 1 9 算术均值的计算取决于变量值和权数的共同作用: 变量值决定均值的范围; 权数则决定均值的位置 ⒈变量值与其算术均值的离差之和等于零,即: ⒉变量值与其算术均值的离差平方和为最小,即: 算术均值的主要数学性质 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -1 -2 1 3 离差的概念 2.调和均值(harmonic mean) ——适用于未分组数据 ——适用于已分组数据 各组的标志总量 各组的变量值 苹果 单价 购买量 总金额 品种 (元) (斤) (元) 红富士 4 3 12 青香蕉 3.6 5 18 x、f 为已知 若只知 x 和xf ,而f 未知,则不能使用加权算术平均方式,必须使用其变形即加权调和平均方式计算均值。 原来是使用了不同的数据! 己知 ,采用基本平均数公式 己知 ,采用加权算术平均数公式 己知 ,采用加权调和平均数公式 若比值 【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下(按计划完成程度分组): 24900 800 2500 17200 4400 计划产值 (万元) 18 2 3 10 3 企业数 (个) 26175 合计 680 2375 18060 5060 1 2 3 4 实际产值 (万元) 组别 计算该公司该季度的平均计划完成程度。 分析: 应采用平均数的基本公式计算 48000 15000 25000 8000 成交量(公斤) m/x 36900 — 合计 18000 12500 6400 1.20 0.50 0.80 甲 乙 丙 成交额(元) m 批发价格(元) x 蔬菜 名称 某日三种蔬菜的批发成交数据 【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表,计算三种蔬菜该日的平均批发价格 3.几何均值(geometric mean) 【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪,求整个流水生产线产品的平均合格率。 分析: 设最初投产100A个单位 ,则 第一道工序的合格品为100A×0.95; 第二道工序的合格品为(100A×0.95)×0.92; …… 第五道工序的合格品为 (100A×0.95×0.92×0.90×0.85)×0.80; 因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品, 故该流水线; 则该流水线产品总的合格率为: 即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积,符合几何平均数的适用条件,故需采用几何平均法计算。 解: 思考: 若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线,而是五个独立作业的车间,且各车间的合格率同前,又假定各车间的产量相等均为100件,求该企业的平均合格率。 【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪,2年为5﹪,2年为8﹪,3年为10﹪,1年为15﹪。求平均年利率。 设本金为V,则至各年末的本利和应为: 第1年末的本利和为: 第2年末的本利和为: ……… ……… 第12年末的本利和为: 分析: 第2年的计息基础 第12年的计息基础 则该笔本金12年总的本利率为: 即12年总本利率等于各年本利率的连乘积,符合几何平均数的适用条件,故计算平均年本利率应采用几何平均法。 思 考 若上题中不是按复利而是按单利计息,且各年的利率与上相同,求平均年利率。 解: 是否为比率 或速度 各个比率或速 度的连乘积是否等于总比 率或总速度 是否为 其他比值 是 否 否 是 否 是 几何平均法 算术平均法 平均的对象 均值计算公式的选用顺序 左偏分布 均值 中位数 众数 对称分布 均值 = 中位数 = 众数 右偏分布 众数 中位数 均值 (四)众数、中位数与均值的比较 1.众数、中位数和均值的关系 众数 一组数据分布的峰值,不受极端值影响 具有不惟一性 数据多、且分布偏斜程度较大时应用 中位数 一组数据中间位置上的代表值,不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 均值 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用 2.众数、中位数和均值的特点与应用场合 众数 — — 四分位数 众数 — 中位数 四分位数 — ※均值 ※中位数 ※众数 适 用 的 测 度 值 数值型数据 顺序数据 分类数据 数据类型 数据类型与集中趋势测度值 集中趋势弱、离散趋势强 集中趋势强、离散趋势弱 二、离散趋势的度量 (一)异众比率 (二)四分位差 (三)极差和平均差 (四)方差与标准差 (五)相对位置的度量 (六)离散系数 数据分布的另一个重要特征 反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度) 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值 离中趋势 4. 用于衡量众数的代表性 异众比率(variation ratio) 解: 在所调查的50人当中,购买其他品牌饮料的人数占70%,异众比率比较大。因此,用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况,其代表性不是很好 不同品牌饮料的频数分布 100 1 50 合计 30 22 18 12 18 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 15 11 9 6 9 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露 百分比(%) 比例 频数 饮料品牌 统计学STATISTICS Shape Concerned with extent to which values are symmetrically distributed. Kurtosis The extent to which a distribution is peaked (flatter or taller). For example, a distribution could be more peaked than a normal distribution (still may be 慴ell-shaped). If values are negative, then distribution is less peaked than a normal distribution. Skew The extent to which a distribution is symmetric or has a tail. Values are 0 if normal distribution. If the values are negative, then negative or left-skewed. Location (Position) Concerned with where values are concentrated. Variation (Dispersion) Concerned with the extent to which values vary. Shape Concerned with extent to which values are symmetrically distributed. 统计学 本章学习目标 1.掌握反映数据集中趋势度量值——众数、中位数、四分位数、均值的概念及应用场合; 2.掌握反映数据离散趋势度量值——异众比率、四分位差、极差、平均差、方差、标准差及离散系数的概念及应用场合; 3.了解反映数据分布形态度量值——偏态系数和峰态系数的测度方法; 4.熟练运用Excel进行描述统计量分析。 数据的分布特征 分布的形状 集中趋势 离散程度 众 数 中位数 四分位数 均 值 异众比率 四分位差 标准差与方差 离散系数 偏态系数 峰态系数 一、集中趋势的度量 (一)众数 (二)中位数与四分位数 (三)均值 (四)众数、中位数与均值的比较 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 从不同的角度考虑,反映集中趋势的测度值有多个 集中趋势 (一)众数(mode) 一个众数 原始数据: 3 5 7 5 5 5 多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42 解:这里的变量为“饮料品牌”,不同饮料的品牌就是变量值。在所调查的50瓶饮料中,可口可乐卖的最多,为15瓶,占总被调查饮料瓶数的30%,因此众数为“可口可乐”这一品牌,即mo=可口可乐 1.根据未分组数据或单项分组确定众数 露露 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 露露 汇源果汁 可口可乐 百事可乐 露露 旭日升冰茶 汇源果汁 露露 百事可乐 可口可乐 百事可乐 汇源果汁 可口可乐 汇源果汁 可口可乐 汇源果汁 旭日升冰茶 可口可乐 可口可乐 旭日升冰茶 露露 旭日升冰茶 可口可乐 露露 百事可乐 百事可乐 可口可乐 旭日升冰茶 可口可乐 百事可乐 露露 旭日升冰茶 旭日升冰茶 百事可乐 可口可乐 旭日升冰茶 旭日升冰茶 露露 旭日升冰茶 可口可乐 百事可乐 可口可乐 汇源果汁 可口可乐 露露 可口可乐 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E D C B A 序号 解:这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多,为108户,因此众数为“不满意”这一类别,即 mo=不满意 甲城市 回答类别 100.0 300 合计 8 36 31 15 10 24 108 93 45 30 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 百分比 (%) 户数 (户) 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 25 合计 2 8 10 5 17 18 19 20 工人人数(人) 产品数(件) 解:表中日加工产品数为变量,变量值19的工人人数最多,即出现次数最多,所以Mo=19件 某企业工人日加工产品情况 2.根据组距分组数据确定众数 首先,要确定众数所在的组,若为等距分组数据,次数最多的那个组就是众数所在组;若为异距分组数据,需将其换算为次数密度(或标准组距次数),换算后次数密度最多的一组才是众数所在组。 然后,运用差值公式来计算众数的近似值。 下限公式: 上限公式: 表示众数所在组的下限 表示众数所在组的下限 表示众数所在组的频数与其下限的邻组频数之差 表示众数所在组的频数与其上限的邻组频数之差 众数所在组的组距 某地区利润额的频数分布 120 合计 11 600以上 18 500-600 42 400-500 30 300-400 19 200-300 企业数(个) 按利润额分组(万元) 【例】 解: 首先,确定众数所在组。本例为等距分组数据,频数数值最大的组就是众数所在组。即企业数最多的组 “400-500”就是众数所在组。 然后,运用众数的插值公式计算众数。 me 50% 50% 主要用于顺序数据,也可用数值型数据,但不能用于分类数据 不受极端值的影响,在总体标志值差异很大时,具有较强的代表性。 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小,即 (二)中位数与四分位数 1.中位数 变量值 3 4 5 5 6 9 10 中位数 5 平均值 6 与中位数离差 -2 -1 0 0 1 4 5 与平均数离差 -3 -2 -1 -1 0 3 4 绝对数值之和 13 14 首先,对数据进行排序,然后确定中位数的位置; 最后,确定中位数的具体数值。 原始数据: 分组数据: (1)根据未分组数据确定中位数 【例】某汽车公司的营销部经理随机抽取9个汽车销售门店了解5月份的汽车销售情况,获得的汽车销售额(单位:万元)数据分别为:700、400、200、1000、1000、1200、1400、1000、1200。试计算这9个汽车销售门店销售额的中位数。 解:首先,对销售额(万元)数据进行排序,依次为: 200、400、700、1000、1000、1000、1200、1200、1400; 然后,计算中位数位置: 最后,找出第5个位置的变量值,即 。 ? 解:中位数的位置为 300/2=150 从累计频数看,中位数在“一般”这一组别中。因此 me=一般 甲城市 回答类别 — 300 合计 24 132 225 270 300 24 108 93 45 30 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 累计频数 户数 (户) 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 (2)根据单项分组数据确定中位数 【例】某企业某日工人的日产量资料如下: — 70 170 550 700 800 (人) 向上累计次数 800 合计 70 100 380 150 100 10 11 12 13 14 工人人数(人) 日产量(件) 计算该企业该日全部工人日产量的中位数。 中位数的位次: (3)根据组距分组数据计算中位数 第一步,根据中位数位置及累计次数确定中位数组; 第二步,用插补公式计算中位数的近似值。 表示比中位数所在组下限小的各组累计次数 表示比中位数所在组上限大的各组累计次数 【例】某车间50名工人月产量的资料如下: — 3 10 42 50 (人) 向上累计次数 50 合计 3 7 32 8 200以下 200~400 400~600 600以上 工人人数(人) 月产量(件) 计算该车间工人月产量的中位数。 不受极端值的影响 主要用于顺序数据,也可用于数值型数据,但不能用于分类数据 计算方法与中位数的类似。 ql qme qu 25% 25% 25% 25% 2.四分位数 原始数据: 分组数据: 四分位数位置的确定 注意 Excel给出的四分位数位置的确定方法为: ? ? 解: ql位置= (300)/4 =75 qu位置 =(3×300)/4 =225 从累计频数看,ql在“不满意”这一组别中,qu在“一般”这一组别中。因此,ql=不满意, qu =一般 甲城市 回答类别 — 300 合计 24 132 225 270 300 24 108 93 45 30 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 累计频数 户数 (户) 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 【例】 统计学STATISTICS Shape Concerned with extent to which values are symmetrically distributed. Kurtosis The extent to which a distribution is peaked (flatter or taller). For example, a distribution could be more peaked than a normal distribution (still may be 慴ell-shaped). If values are negative, then distribution is less peaked than a normal distribution. Skew The extent to which a distribution is symmetric or has a tail. Values are 0 if normal distribution. If the values are negative, then negative or left-skewed. Location (Position) Concerned with where values are concentrated. Variation (Dispersion) Concerned with the extent to which values vary. Shape Concerned with extent to which values are symmetrically distributed. * *

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