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2截面数据分析

发布时间:2019-06-11 23:59 来源:未知 编辑:admin

  一、分布集中趋势的测度二、分布离散程度的测度 三、分布偏态与峰度的测度 一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法 指总体中各单位的次数分布从两边向中间 指总体中各单位的次数分布从两边向中间 集中的趋势, 集中的趋势,用用平均指标 平均指标来反映。 来反映。 集中趋势 集中趋势 集中趋势 集中趋势 可以反映现象总体的一般水平; 可以对比同类现象在不同的时间、地点和条件下 的一般水平; 可以分析现象之间的依存关系。 测度集中趋势的意义: 指同质总体中各单位某一数 量标志的一般水平,是对总 体单位间数量差异的抽象化 二、平均指标的种类及计算方法 二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数算术平均数 调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 中位数中位数 众数众数 ((六六))分位数 分位数 数值平均数 数值平均数 位置平均数 位置平均数 总体单位总数 总体标志总量 平均数 算术 基本形式:基本形式: 总产量 总成本 平均成本 职工人数 工资总额 平均工资 算术平均数算术平均数(mean) (mean) 简单算术平均数简单算术平均数 ——适用于总体资料未经分组 整理、尚为原始资料的情况 为算术平均数为算术平均数; 为总体单位总数;为总体单位总数; 个单位的标志值。个单位的标志值。 算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法 平均每人日销售额为: 平均每人日销售额为: 440750 480 600 520 算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法 某售货小组 某售货小组55个人,某天的销售额分别为 个人,某天的销售额分别为520 520 元、600600元、 元、480 480元、 元、750 750元、 元、440 440元,则 加权算术平均数加权算术平均数 ——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况 为算术平均数为算术平均数; 组的次数;组的次数; 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。 算术平均数的计算方法算术平均数的计算方法 【例】某企业某日工人的日产量资料如下: 日产量(件) 工人人数(人) 10 11 12 13 14 70 100 380 150 100 合计 800 12800 9710 100 70 100 14 70 10 若上述资料为组距数列,则应取各组的组中值作若上述资料为组距数列,则应取各组的组中值作 为该组的代表值用于计算;此时求得的算术平均 为该组的代表值用于计算;此时求得的算术平均 数只是其真值的近似值。 数只是其真值的近似值。 说说 明明 说说 明明 成绩(分)人数(人) 甲班 乙班 6039 50100 3950 平均成绩(分) 61 99 80 起到权衡轻 起到权衡轻 重的作用 重的作用 决定平均数 决定平均数 的变动范围 的变动范围 表现为次数、频数、单位数;即 表现为次数、频数、单位数;即 公式 公式 表现为频率、比重;即公式表现为频率、比重;即公式 指变量数列中各组标志值出现的次数,是变量值的承担者,反映了各组的标志 值对平均数的影响程度 权数 权数 权数 权数 绝对权数 绝对权数 相对权数 相对权数 离差( 离差(Deviation)的概念 的概念 -1-1 -2 算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质 二、平均指标的种类及计算方法 二、平均指标的种类及计算方法 数值平均数 数值平均数 位置平均数 位置平均数 【例】设设X= X=((22,,44,,66,,88),则其调和平 ),则其调和平 均数可由定义计算如下: 均数可由定义计算如下: 再求算术平均数: 再求算术平均数: 求各标志值的倒数求各标志值的倒数:: 再求倒数:再求倒数: 是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数,又叫倒数平均数. 调和平均数( 调和平均数( 调和平均数(调和平均数(Harmonic Mean) 简单调和平均数简单调和平均数——适用于总体资料未经分组 整理、尚为原始资料的情况 为调和平均数为调和平均数; 为变量值为变量值 的个数; 的个数; 个变量值。个变量值。 调和平均数的计算方法调和平均数的计算方法 加权调和平均数加权调和平均数 ——适用于总体资料经过分组整 理形成变量数列的情况 组的变量值;组的变量值; 组的标志总量。组的标志总量。 调和平均数的计算方法调和平均数的计算方法 ——当己知各组变量值和标志总量时,作为算术 平均数的变形使用。 因为: 因为: XfXf 调和平均数的应用调和平均数的应用 日产量(件) 日产量(件) 各组工人日总产量(件) 各组工人日总产量(件) 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 700 700 1100 1100 4560 4560 1950 1950 1400 1400 合计 合计 9710 9710 【【例例】】某企业某日工人的日产量资料如下: 计算该企业该日全部工人的平均日产量。 调和平均数的应用 调和平均数的应用 12800 9710 14 1400 10 700 9710 调和平均数的应用调和平均数的应用 二、平均指标的种类及计算方法((六六))分位数 分位数 数值平均数 数值平均数 位置平均数 位置平均数 几何平均数 几何平均数(geometric mean) (geometric mean) 几何平均数几何平均数(geometric mean) (geometric mean) 是是NN项变量值连乘积的开 项变量值连乘积的开NN次方根 次方根 用于计算现象的平均比率或平均速度 应用: 应用: 相乘的各个比率或速度不为零或负值。 应用的前提条件: 应用的前提条件: ——适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况 几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法 【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各 工序产品的合格率分别为95、92、90、85、 80,求整个流水生产线产品的平均合格率。 分析: 分析: 设最初投产100A个单位 第一道工序的合格品为100A0.95;第二道工序的合格品为(100A0.95)0.92; 第五道工序的合格品为(100A0.950.920.900.85)0.80; 因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合 格品,故该流水线; 则该流水线A 总产品总合格品 即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘 积,符合几何平均数的适用条件,故需采用几何 平均法计算。 因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格 品,故该流水线; 则该流水线A 总产品总合格品 即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘 积,符合几何平均数的适用条件,故需采用几何 平均法计算。 885349 若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线,而是五个独立作业的车间,且各车间的 合格率同前,又假定各车间的产量相等均为100件, 求该企业的平均合格率。 几何平均数的计算方法 几何平均数的计算方法 因各车间彼此独立作业,所以有 第一车间的合格品为:1000.95; 第二车间的合格品为:1000.92; 第五车间的合格品为:1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和,即 总合格品=1000.95+……+1000.80 几何平均数的计算方法 几何平均数的计算方法 分析: 分析: 不再符合几何平均数的适用条件,需按照求解比 值的平均数的方法计算。又因为 88500 442 100 100 100 80 10095 产品合格品 合格率 应采用加权算术平均数公式计算,即应采用加权算术平均数公式计算,即 ——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况 几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法 【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有 15。求平均年利率。设本金为V,则至各年末的本利和应为: 第1年末的本利和为: 第12年末的本利和为:分析: 分析: 计息基础第12年的 计息基础 本金总的本利和 则该笔本金12年总的本利率为: 即12年总本利率等于各年本利率的连乘积,符合几 何平均数的适用条件,故计算平均年本利率应采用 几何平均法。 1062154 几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法 若上题中不是按复利而是按单利计息,且 各年的利率与上相同,求平均年利率。 第第11年末的应得利息为 年末的应得利息为: 03 第22年末的应得利息为年末的应得利息为: 03 第第1212年末的应得利息为: 年末的应得利息为: 15 设本金为设本金为VV,则各年末应得利息为: ,则各年末应得利息为: 则该笔本金12年应得的利息总和为: =V(0.034+0.052+……+0.151) 这里的利息率或本利率不再符合几何平均数 的适用条件,需按照求解比值的平均数的方法计 算。因为 本金利息 利息率 1283 (比较:按复利计息时的平均年利率为6.85)是否为比率 或速度 各个比率或速 度的连乘积是否等于总比 率或总速度 是否为 其他比值 求解比值的平均数的方法数值平均数计算 数值平均数计算 公式的选用顺序 公式的选用顺序 将总体各单位标志值按大小顺序排列后,指处于数列 中间位置的标志值,用 表示 (median)(median) (median) (median) 不受极端数值的影响,在总体标志值差异很大时, 具有较强的代表性。 中位数的作用: (1)由未分组的资料确定中位数。 设有一个含有n个观察值 的样本,把 它们从小到大重新排列为 。样本中 位数Me: 为奇数为偶数 中位数的位次为: 中位数的位次为: 即第33个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数 【例A】某售货小组5个人,某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750 中位数的位次为:中位数的位次为: 600520 【例B】若上述售货小组为6个人,某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600 元、750元、760元,则 为奇数为奇数 (2)由分组资料确定中位数。资料经分组后所形成的数列有单项数列和组距数 列两种,其中位数的确定方法也有区别。 单项数列计算中位数的方法是:先计算f /2+1的中间位置,然后计算各组的累计次数,中位数的位置在哪一个累计 频数组内,则该组的变量值就是中位数。 【例C】某企业某日工人的日产量资料如下: 日产量(件) 工人人数(人) 向上累计次数 1011 12 13 14 70 100 380 150 100 70 170 550 700 800 合计 800 计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次: (单值数列)(单值数列) 其中表示含有中位数所在区间的下限, 表示含有中位数所 在区间的上限, 表示含有中位数所在区间的组距, 表示中 位数所在区间之前的累积频数, 表示中位数所在区间的组频 中位数组距数列要利用插值的方法来计算中位数,具体方 法是:先按f /2来确定中位数所在的组,然后根据以下公式计算。 (组距数列) (组距数列) 【例D】某车间50名工人月产量的资料如下: 月产量(件) 工人人数(人) 向上累计次数 200以下200~400 400~600 600以上 1042 50 合计 50 493400 600 32 10 50400 (组距数列)(组距数列) 中位数组中位数组 假定该组内的单位假定该组内的单位 呈均匀分布 呈均匀分布 共有单位数 共有单位数 中位数下限公式为中位数下限公式为 该段长度应为该段长度应为 指总体中出现次数最多的变量值,用表示,它 不受极端数值的影响,用来说明总体中大多数单 位所达到的一般水平。 (mode)(mode) (mode) (mode) 日产量(件) 日产量(件) 工人人数(人) 工人人数(人) 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 70 70 100 100 380 380 150 150 100 100 合计 合计 800 800 【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下: (单值数列)(单值数列) 计算该企业该日全部工人日产量的众数。 众数所在位置 (组距数列) (组距数列) 【【例例BB】】某车间 某车间50 50名工人月产量的资料如下: 名工人月产量的资料如下: 月产量(件) 工人人数(人) 向上累计次数 200以下200~400 400~600 600以上 1042 50 合计 50 502200 24 25 25 400 概约众数:众数所在组的组中值,在本例为500件 VAR00001 1412 10 Std.Dev 4.86Mean 83.0083名女生身高原始数据 VAR00001 173.0 170.0 167.0 164.0 161.0 158.0 155.0 152.0 30 20 10 Std.Dev 4.86Mean 83.0083名女生身高组距数列 当数据分布存在明显的集中趋势,且有显著的极端值时,适合使用众数; 当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布 中心时,不适合使用众数(前者无众数,后者为双 众数或多众数,也等于没有众数)。 六、分位数 分位数是将一组按大小顺序排列的数据平均分 成N份的N-1个分点上的值,中位数是分位数的一个 特例。 1、四分位数(Quartile) 四分位数是将一组按大小顺序排列的数据平 均分成4个部分的三个分点上的数值,一般称为 “1/4分位数”、“2/4分位数”、“3/4分位数”, 分别记为Q 下四分位数上四分位数 25%25% 25% 25% 一般地还称上四分位数为75百分位数(75 pecentile, 有75%的观测值小于它),下四分位数为25百分 位数(有25%的观测值小于它)。 四分位数的计算也分为两种情况。未分组资料和分 组资料。 (1)未分组资料 对于未分组资料,首先将数据按大小顺序排列, 然后计算分位数所在的位置,具体计算公式为: 位置在位置在 位置在 若以上计算结果是整数,则各个位置的数值就是相 应的三个四分位数;若以上计算结果是小数,则有关 的四分位数就应该采用插值的方法来确定。例如,对 于已经排好序的60个数据x 60计算四分位数,根 据上述公式确定的三个四分位数的位置分别为: 6045 46 45 3031 30 1516 15 该是:这时三个四分位数就应 位置在 位置在 位置在 位置在位置在 位置在 (2)分组资料。 a、对于单项式变量数列,首先根据公式确定四分位 数所在的位置,计算公式为: 然后计算累计频数,四分位数的位置在哪一个累 计频数组内,则该组的变量值就是四分位数。 b、对于组距式变量数列。首先根据公式确定四分位数所 在的位置,计算公式与单项式数列情况下的相同;然后假定在 三个四分位数算子组内各个单位的变量值是均匀分布的,利用 下面的插值公式计算四分位数的近似值 各组的累计频数;个四分位数所在组以下 给出的是四分位数的下限公式,同理也有上限公式,在此从略。2.十分位数(Decile) 十分位数是将一组按大小顺序排列的数据平均分成10个部 分的九个分点上的数值,一般称为“1/10分位数”、“2/10分 位数”、…“9/10分位数”,分别记为D 。十分位数的确定方法与四分位数的确定方法相同,在此不再重复。 从中位数与四分位数的计算过程,我们可以写出各种分位 数的计算公式。 组的累计频数;—分位数所在组以上各 组的累计频数;—分位数所在组以下各 一般地,k百分位数(k-pecentile)意味着有k%的观测值小于它。 如果令a=k%,则k百分位数也称为a分位数(a-quantile)。 切尾平均(trimmed mean) 切尾平均是去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值。 数据1,2,3,4的四分位数。二、数据分布的离中趋势的度量 一、离中趋势的涵义 二、标志变异指标的种类及计算 三、是非标志的标准差及方差 指总体中各单位标志值背离分布中心 的规模或程度,用标志变异指标来反 反映统计数据差异程度的综合指标,也称为标志变动度 变异指标值越大,平均指标的代表性越小;反之, 平均指标的代表性越大。 1015 20 50100 150 集中趋势弱、集中趋势弱、 离中趋势强 离中趋势强 集中趋势强、 集中趋势强、 离中趋势弱 离中趋势弱 cm 测度离中趋势的意义测度离中趋势的意义 用来衡量和比较平均数代表性的大小; 用来反映社会经济活动过程的均衡性和节奏性; 用来测度变量数列次数分布较正态分布的偏离程度。 测度标志变异度的绝对量指标(与原变量值 名数相同) 测度标志变异度的相对量指标(表现为无 名数) 平均差平均差 标准差 标准差 系数平均差 平均差 系数 标准差 标准差 系数 标志变异指标的种类 四分位差 min max 指所研究的数据中,最大值与最小值之差,又称极差(Range) 最大变量值或最高组上限或开口组假 定上限 最小变量值或最低 组下限或开口组假 定下限 【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、 480元、520元、600元、750元,则 310440 750 min max 【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下: 计划完成程度 计划完成程度 组中值组中值 企业数企业数 计划产值计划产值 (万元) (万元) 90 90以下 以下 90 90~~100 100 100 100~~110 110 110 110以上 以上 85 85 95 95 105 105 115 115 22 33 10 10 33 800 800 2500 2500 17200 17200 4400 4400 合计 合计 1818 24900 24900 计算该公司该季度计划完成程度的全距。 计算该公司该季度计划完成程度的全距。 4080 120 10 90 10 110 min max 优点:计算方法简单、易懂;缺点:易受极端数值的影响,不能全面反映所有 标志值差异大小及分布状况,准确程度差 上四分位与下四分位差,反映了中间50%数据的离散程度,用于衡量中位数的代表程度。又称内距(Inter- quartile range)。 (Quartile Deviation) (Quartile Deviation) 计算公式: 计算公式: 下四分位数 上四分位数 25%25% 25% 25% 四分位差反映了中间50%数据的离散程度,其数值 越小,说明中间数据越集中;数值越大,说明中间数 据越分散。 简单平均差简单平均差—— ——适用于未分组资料 适用于未分组资料 是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的 算术平均数,用 表示 计算公式: 计算公式: 总体算术 平均数 总体单 位总数 个单位的变量值 【例A】某售货小组5个人,某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元,求该售货 小组销售额的平均差。 558750 558 440 750600 520 480 440 加权平均差加权平均差—— ——适用于分组资料 适用于分组资料 总体算术 平均数 组变量值出现的次数 组的变量值或组中值 【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。月工资(元) 组中值(元) 职工人数(人) 300以下 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 900以上 250 350 450 550 650 750 850 950 208 314 382 456 305 237 78 20 合计 5222000 1045900 2000 20 950 208 250 1382000 2778932000 20 95 522950 208 95 522250 即该公司职工月工资的平均差为138.95元。优点:不易受极端数值的影响,能综合反映全部单 位标志值的实际差异程度; 缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数 离差的正负值问题,不便于作数学处理和参与统计分 析运算。 一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标 差异状况一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标 ——标准差,来反映总体内部各单位标志值的 差异状况 简单标准差————适用于未分组资料 适用于未分组资料 是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数 的开平方根,用 来表示;标准差的平方又叫作方差, StandardDeviation) 计算公式: 计算公式: 总体单 位总数 个单位的变量值 总体算术平均数 【例A】某售货小组5个人,某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元,求该售货小 组销售额的标准差。 750600 520 480 440 558750 558 440 总体算术平均数 组变量值出现的次数 组的变量值或组中值 【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资(元) 组中值(元) 职工人数(人) 300以下 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 900以上 250 350 450 550 650 750 850 950 208 314 382 456 305 237 78 20 合计 5222000 1045900 2000 20 950 208 250 1672000 01 0 20 95 522950 208 95 522250 (比较:其工资的平均差为138.95元)即该公司职工月工资的标准差为167.9元。 不易受极端数值的影响,能综合反映全部单位标志 值的实际差异程度; 用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正 负值问题,可方便地用于数学处理和统计分析运算. 对多个具有不同量纲的指标进行标准化处理,标准化值反映了一组数据中各数值的相对位置。 若数据服从正态分布,位于均值左右3倍标准差之内的数据占99.73%。 kg500 大象kg 身高的差异水平:cm体重的差异水平:kg 可以相互比较身高 身高 体重体重 平均差系数平均差系数 平均差系数 平均差系数 标准差系数 标准差系数 标准差系数 标准差系数 用来对比不同水平的同类现象,特别是不同类现象总体平均数代表性的大小: ——标准差系数小的总体,其平均数的代表性大; 反之,亦然。 应用 应用:: 【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为 82分和76分,其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分, 比较两班平均成绩代表性的大小。 19100 82 15100 一班成绩的标准差系数为:二班成绩的标准差系数为: 19100 76 14100 因为,所以一班平均成绩的代表性比二 分组分组 单位数 单位数 变量值 变量值 具有某一属性 具有某一属性 不具有某一属性 不具有某一属性 11 00 合计 合计 指总体中全部单位只具有“是”或“否”、“有”或“无”两种表现形式 的标志,又叫交替标志。 是非标志 是非标志 是非标志 是非标志 具有某种标志表现的 具有某种标志表现的 单位数所占的成数 单位数所占的成数 具有某种标志表现的 具有某种标志表现的 单位数所占的成数 单位数所占的成数 不具有某种标志表现不具有某种标志表现 的单位数所占的成数 的单位数所占的成数 不具有某种标志表现 不具有某种标志表现 的单位数所占的成数 的单位数所占的成数 且有指是非标志总体中具有某种表现或不具有 某种表现的单位数占全部总体单位总数的 比重 成数 成数 成数 成数 方差方差 方差 方差 标准差系数标准差系数 标准差系数 标准差系数 【例】某厂某月份生产了400件产品,其中合格品 380件,不合格品20件。求产品质量分布的集中趋 势与离中趋势。 218 40020 95 400 380 20 380 400 Right-SkewedLeft-Skewed Symmetric Mean ModeMean Median Mode Median Mean Mode 左偏、右偏的含义 一、偏度(Skewness)及其测度 偏度是反映数据相对于正态分布的偏斜程度的指标,表明 不对称的方向和程度。 1、算术平均数和众数比较法----偏斜度 利用算术平均数与众数之间的差异(距离)作为测定分 布偏斜度的一个尺度,即 偏斜度为正说明分布是右偏态或称正偏态;偏斜度为负说明分布是左偏态或称负偏态;偏斜度为0,说 明分布是对称的。 2、皮尔逊偏斜系数 偏斜度是测量分布偏斜程度的绝对指标,但对于计量单 位或变量值水平不同的频数分布就无法用偏斜度来比较偏斜 程度的大小。在实际工作中更多地应用皮尔逊偏斜系数 (Pearson`s Cofficient Skewness)来测定分布的偏斜程度,其计算公式为: 皮尔逊偏斜系数是用偏斜度与标准差的比值来消除计量单位或变量值水平不同的影响,实际上是以标准差为单位来衡量 偏斜程度的大小。Psk通常在+3和-3范围内变动,其绝对值 越大,说明偏斜程度越大。反之,则表明偏斜程度较小。 3、四分位数比较法 因为在对称分布下,中位数与第一个和第三个分位数的距 离相等;当分布为右偏态时,中位数与第三个分位数的距离要 大于它与第一个分位数的距离;当分布为左偏态时,中位数与 第三个分位数的距离要小于它与第一个分位数的距离。因此利 用中位数与第三个、第一个分位数距离之差除以四分位差来衡 量偏斜程度的指标。计算公式为: qsk的符号表明偏斜的方向,它的大小表明偏斜的大小。等于0为正态分布, 大于0为右偏分布, 小于 0为左偏分布. SKns 峰度是用来反映频数分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。1.分位数法 分位数法就是通过四分位数和十分位数之间的数量关系来衡 量峰度的。其公式为: 0.526K值越小,频数分布的图形越陡峭;反之,K值越大,频数分布的图形 越平缓。对于正态分布,按上述公式计算的K值都是 。因此可用 下面的公式反映一个分布与正态分布相比的陡峭或平缓程度。 其结果为正,说明该分布与正态分布相比更陡峭,结果为负,说明该分布与正态分布相比更平缓。 二、峰度(kurtosis)及其测度 正态分布函数的语法是normdist(x,mean,standard_dev,cumulative) cumulative设为0会画出概率密度函数图,设为1画出积累分布函数图 比如,在A列中填充一列等差序列,在B1中输入函数,normdist(A1,7,20,0)得到返回值f,用黑色十字形鼠标自 动填充B列中余下数值,以A列为横轴,B列为纵轴,就做 出分布图了。 2.矩法----峰度系数 STEP5:填写完“描述统计”对话框之后,按“确定”按扭即可。

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